导数揭示事物变化的新规律

原创 数学通识50讲 提取码  2021-11-02 15:23 
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吴军数学通识讲义 by 吴军 _部分309

300 | 吴军数学通识讲义

10.1 导数: 揭示事物变化的新规律

微积分有两位主要的发明人一一牛顿和莱布尼欧。和牛顿发明微
积分的一个重要原因,是他需要一个数学工具来解决力学问题,比
如如何计算速度。可能有人会说,这还不容易,我们在小学就学
了,就是距离除以时间。没错,我们从小学到中学都是这人么学的,
但这只是一段时间的平均速度。如果想知道物体在某一时刻的瞬时
速度 ,就不能这人么计算了。如果要拿平均速度来近似表达瞬时速
度,即拿宏观的规律近似表达微观的,则其前提是在一段时间内速
度变化不大。

但是在很多情况下 ,物体运动的速度并不是均匀的,它变化很
大,而我们又需要了解瞬时速度。比如警察抓超速,依据的就是驾
驶者的瞬时速度,而不是他一路开过来的平均速度。再比如,我们
衡量汽车对撞时的安全性,也只关心撞击时的瞬时速度。对于瞬时
速度,牛顿之前的科学家并没有太多的了解,当然也不会计算了。

1. 极限 : 连接宕观和微观规律

那么牛顿是怎么解决这个问题的呢? 他采用了一种无限欢近的
方法。让我们先回顾一下平均速度的定义,以便理解牛顿对瞬时速

度的定义。
如果一个物体在一段时间 At内位移了As,它在这段时间呈的

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