柯西(AugustinLouisCauchy)和卡尔…和表尔期

原创 吴军数学通识讲义思考题  2021-11-02 15:23 
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吴军数学通识讲义 by 吴军 _部分170

第 5章,无穷大和无穷小:从数值到趋势| 16 1

古斯丁. 路易斯. 柯西 ( Augustin Louis Cauchy ) 和卡尔… 和表尔期
特拉斯 (Karl Weierstrass ) 给出的,牛顿那时的人给不出这样的摘
述。当然,如果仅仅是在物理学上使用这样含义不太明确的无穷
小,还和揭强说得过去。但是,在数学上是决不允许有这种逻辑上可
能产生了矛盾的概念或者结论存在的,因为数学的一大用途就是靠逻
辑上的完备性,发现自然界的规律。一旦出了类似悖论的问题,束
很难用于自然科学或者实践。

我们可以通过下面的一个例子来说明在数学中逻辑目洽的重要
性,那就是伽利略发现物体落地时间和重量无关的例子。

伽利略是在牛顿之前最伟大的物理学家。我们今天知道他,其
实并不是了解了他在物理学上有多少贡献 ,而是听说过他在比联斜
塔上进行铁球实验的故事。根据他的学生记载,当时伽利略通过扔
下两个分别重1磅和10磅的铁球,发现它们同时落地,从而否定了
亚里士多德过去关于“重的物体要比轻的物体先落地”的论断。这
个实验是否是他的学生虚构的,今天有争议。实际上,伽利略质疑
亚里士多德的结论并不是从做实验开始的,他是从简单的数学逻辑
中找出了亚里士多德结论中的下慎之处。

伽利略的逻辑很有意思,有既然亚里士多德说了重的物体比轻的
物体能更快地落地,那么将 10磅和1磅的两个球绑在一起,它们是
比 10磅的球更快落地还是更慢呢? 如果你认为它们是两个球,一个
快一个慢,1磅的要拖 10磅的后腿,那么它们就要比单独一个10磅
的球落地慢; 但是,如果你认为它们是一个整体,一共11磅,落地
就要更快。这就在逻辑上产生了了矛盾。这个矛盾就推翻了亚里士多
德的结论。但是,伽利略能够用数学预言物理学结论的前提是数学

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