微分摘述微观世界的工具

原创 吴军数学通识讲义观后感开头  2021-11-02 15:24 
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吴军数学通识讲义 by 吴军 _部分316

第 10 章 ”微分: 如何理解安观和微观的关系|307

10.2 微分: 摘述微观世界的工具

导数是微积分中最重要的概念之一,从导数出发稍微往表走一
小步,我们就进入到微积分的微分内容了。

1. 微分的用处

什么是微分呢? 它甚实就是在前面有关速度的例子中所到的,
当At趋近于零时,位移量As 的值。对比一般性的函数)王Kxz) ,我们
用 dx表示自变量趋于零的情况,用dy表示函数的微分。如采我们
对比一下导数的定义和微分的定义,就可以看出它们讲的其实是一
回事,因为 dy=六(Co)dx。因此,我们也经销直接把导数写成:

广CD=下。 (10.3 )

如果我们孤立地看微分dy,就是无穷小,定义微分这样一个新
概念有什么必要呢? 我们用一个具体的例子来说明。

我们知道,圆柱体的体积等于圆周率r乘以半径平方再乘以高
度,即 产xxz光。如果要问圆柱体的体积随半径变化快还是随高度变
化快,在没有微分这个概念时,一般人根据直觉,会党得随半径变
化快,因为体积和半径之间是平方关系,而随融度变化只是线性天
系。真实情况是什么样呢? 我们可以对这两种变化趋势做量化的对
比: 在半径和高度特定的条件下,看看半径增长一个很小的单位,
体积增加多少; 再看看高度增加同样的单位,体积增加多少。

先来看半径增长对体积的影响。

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