【数学通识50讲 百度云】by吴军_吴军数学通识讲义很多人会说,当然是算法C好,至于A和B,要看情况,如志

原创 吴军数学通识讲义的读书笔记  2021-11-02 15:24 
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吴军数学通识讲义 by 吴军 _部分157

148| 吴军数学通识讲义

很多人会说,当然是算法C好,至于A和B,要看情况,如志
N<100 000,那么算法B更好,和否则就是算法A好。这是按照有了诬
世界思维方式给出的结论。在计算机科学中,在衡量两个算法的复
杂度时,只会考虑它们在处理近乎无穷大的问题上的表现,也陨是
N趋近于无穷大的情况。因为它关心的是,当问题越来越复杂后,
每一种算法所需要消耗的计算机资源 ( 比如计算时间 ) 的增长趋
势,这样一来,算法B显然是计算量最大的,用刚才的大〇概念雪
示,复杂度就是O(N] 。至于A和C 两个算法,虽然在计算量上老
出了10万倍,但是10万毕竟是常数,和无穷大是没法比的,因此
在计算机科学上会认为它们是等价的,复杂度都是O(V)。对计自机
科学家们来讲,将一个算法从平方的复杂度降低到线性,这征拉四
瓜的事情,将一个线性复杂度的算法计算量再减小几倍,这是挫乏
麻的事情。

当然,还有一些无穷大,它们的变化趋势不是那么直观,彼此
之间就不太好相比了。比如,我们知道有理数和无理数的数量都是
无穷大,但是哪一个更多? 由于有理数和无理数是无法对应的,对
它们数量的比较就很难理解。19世纪后期,德国数学家康托尔证明
了无理数的数量要远远多于有理数,甚至在0和1之间的无理数的
数量都要多于全部的有理数,用康托尔的话讲,就是前者的基数比
后者大。这个结论和我们的想象也有较大差异 ,但事实确实如此。
这个例子也说明,我们不能以有限的认知,去理解无限的事物,能
够洞察无限世界的,只有逻各。

无限变化的趋势既然能够往大的方向变化,自然也能往小的方
向走,这就引出数学上最重要的一个概念一一无穷小。

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