【数学通识讲义李书刚】by吴军_吴军数学通识讲义习惯，学会利用逻辑推理，从确定无误的现有知识出发，解决未知

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202 | 吴军数学通识讲义

习惯，学会利用逻辑推理，从确定无误的现有知识出发，解决未知
的问题，或者发现前人没有发现的结论。而我们今天的发现，又会
成为后人继续进步的基石。在所有的数学分支中，几何学是第一个
完成公理化的分支，而且相比其他公理化的数学分文，比如实数理
论、集合论、概率论等，几何学相对更直观一些。因此，我们才会
在中学教授几何学，这样有助于我们理解任何一个公理化的体系，
以后做事能事半功倍。事实上 ，现代的很多学科，包括人文学科，
都受益于这种公理化体系。

最后，我来分享两点我学习几何学的体会。

首先，明确定理和一般性问题的区别，通过定理，把握整个知
识体系，同时要在脑中形成各个定理之间的关系导图。这样，遇到
新的问题，就知道该将问题拆解为怎样的简单问题，从而可以逐一
解决。否则，做再多的题，遇到新问题，照样会不知所指。

其次,在任何时候，除了那些客观的、被验证了的，或者不
证自明的道理 ( 也就是公理 )，其他的陈述，哪怕看起来是正确的，
也不能在没有被证明的情况下使用。在几何学中，没有什么“显
然”，一切结论都需要有根有据。我们解题时，不能引入主观的假
设。我们常说，未经审视的人生没有价值，其实未经逻辑检验的续
论，也是靠不住的。很多人在证明几何题时，目认为证明的过程设
有问题，但是里面有太多想当然的成分，这样的证明便站不住脚。
就拿前面的例 6.1来说，很多人会想当然地认为，任何直线对应的
角必然相等，甚实这是他们的直觉，虽然正确，但却不能直接使
用，必须经过严格的证明才可以。

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