【数学通识讲义李书刚】by吴军_吴军数学通识讲义习惯,学会利用逻辑推理,从确定无误的现有知识出发,解决未知

原创 牛津通识读本数学电子版  2021-11-02 15:25 
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吴军数学通识讲义 by 吴军 _部分211

202 | 吴军数学通识讲义

习惯,学会利用逻辑推理,从确定无误的现有知识出发,解决未知
的问题,或者发现前人没有发现的结论。而我们今天的发现,又会
成为后人继续进步的基石。在所有的数学分支中,几何学是第一个
完成公理化的分支,而且相比其他公理化的数学分文,比如实数理
论、集合论、概率论等,几何学相对更直观一些。因此,我们才会
在中学教授几何学,这样有助于我们理解任何一个公理化的体系,
以后做事能事半功倍。事实上 ,现代的很多学科,包括人文学科,
都受益于这种公理化体系。

最后,我来分享两点我学习几何学的体会。

首先,明确定理和一般性问题的区别,通过定理,把握整个知
识体系,同时要在脑中形成各个定理之间的关系导图。这样,遇到
新的问题,就知道该将问题拆解为怎样的简单问题,从而可以逐一
解决。否则,做再多的题,遇到新问题,照样会不知所指。

其次,在任何时候,除了那些客观的、被验证了的,或者不
证自明的道理 ( 也就是公理 ),其他的陈述,哪怕看起来是正确的,
也不能在没有被证明的情况下使用。在几何学中,没有什么“显
然”,一切结论都需要有根有据。我们解题时,不能引入主观的假
设。我们常说,未经审视的人生没有价值,其实未经逻辑检验的续
论,也是靠不住的。很多人在证明几何题时,目认为证明的过程设
有问题,但是里面有太多想当然的成分,这样的证明便站不住脚。
就拿前面的例 6.1来说,很多人会想当然地认为,任何直线对应的
角必然相等,甚实这是他们的直觉,虽然正确,但却不能直接使
用,必须经过严格的证明才可以。

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