无穷大的本质和现实意义

原创 数学通识讲义电子书  2021-11-02 15:25 
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吴军数学通识讲义 by 吴军 _部分156

第 5 章 “无穷大和无穷小, 从数值到趋势| 147

2. 无穷大的本质和现实意义

既然无穷大不是一个简单的数,不能按照对于一般数的理解
来看待它,那它的本质是什么呢? 巴赫曼和康托尔给出了答案: 无
穷大不是静态的,而是动态的,它反映了一种趋势,一种无限增加
的趋势。在增大的过程中,有的无穷大会比其他的无穷大发展得更
快,通俗地讲就是更大的无穷大,当然用数学的话讲,就是高阶无
穷大。比如思=x和JpP=xz,在x不断增加时,它们都越来越大,但是
后者变化的趋势比前者更快,因此就是高阶的无穷大。为了表示这
二者的区别,巴赫曼和兰道用了大O的概念来表示无穷大的阶数,
比如妨就是O(x)量级的无穷大,而六则是O(c)量级的。至于两倍
的x,即2x,它依然是O(xz)量级的。事实上 ,无穷大《以及以后要
介绍的无穷小 ) 代表着一种新的科学世界观,就是让我们关注动态
变化的趋势,特别是发展变化延伸到远方之后的情况。

无穷大世界的很多特点颠覆常人的认知,这并不是说大家原先
的认知有问题,而是说我们在有限世界里得到的认知太狭谨了 ,相
比浩瀚的宇宙i和人类的知识体系,我们的认知可能就如同夏天的虫
子,受限于我们的生活环境。当然,有些读者朋友可能会问,既然
我们是生活在有限的世界里,甚至宇宙也是有限的,那么了解无穷
大世界有什么现实的意义。它的意义很多,这里我不妨说一个计算
机科学中的例子。

在计算机科学中和常常要衡量一个算法的好坏。比如有A、B 和
C 三种算法能够完成相同功能,算法A要进行100 000N次运算,算
法B要进行次运算,算法C要进行W次运算,请问哪种算法好?

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