【牛津通识读本数学电子版】by吴军_第章函数重要的数学工具确定之后,函数的取值也就确定了。取值也有-一定的范围,这个范

原创 数学通识50讲免费  2021-11-02 15:27 

吴军数学通识讲义 by 吴军 _部分256

第8章 函数: 重要的数学工具 |247

确定之后,函数的取值也就确定了。取值也有-一定的范围,这个范
围,被称为值域。值域也会受到限制,比如说圆的面积就不可能是
负数,几何数列2”:!的取值只能是1, 2, 4, 8, 16, …这些特定的整数,
不可能有3; 员工的工资也不可能是负数,甚至不可能低于最低工资
标准。了解了一个函数的值域范围,可以帮助我们验证结果的对错。
比如成年人的身高通常在1.5米到1.9米之间,不可能是任意的高度。
如果有人算出一个人的身高是10米,说明一定是什么地方搞氏了。
对于函数,很多人常犯的错误在于没有考虑定义域,滥用函数
关系,比如假设圆的半径是负数,然后套用S=mr?这样的函数去计
算面积。类似地,在生活中,很多函数使用起来也要考虑定义域。
比如对于那些平时成绩在 90分以上的学生,如果老师每多教 10%
的内容,他们就能多学会5%,这种往前教的方法看似是有好处的。
但是这个函数是有定义域的,即平均成绩在90 分以上的学生。对于
万绩在70分以下的人,这个变化规律就可能不成立了,教得越多,
可能越没有时间把基本概念搞清楚,成绩反而越差。因此,使用任
何规律之前要看条件是否相符,不能错误地套用了公式。

函数这个概念有点抽象,常常需要借助一些形象的工具帮助大
家理解、处理它们,比如图 8.1 的对应图就是一种方式,当然它对
于连续变化的变量就不太有效。对于这种情况,用一条让横坐标表
示变量值、纵坐标表示范数值的曲线来形象化地描述函数变化,就
清晰得多。事实上,人们最初研究函数时,恰恰是用它来描述数学
上一些曲线的变化规律的。提出函数这个概念的人是著名数学家菜
布尼蒋,而他最初提出这个概念,就是因为在研究微积分时,常党
要确定曲线上每一个点的性质,比如曲线在一个点附近是否连续,

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