【吴军数学通识讲义几何篇】by吴军_吴军数学通识讲义高阶无穷小,因此,当sinx已经比较接近于时,Vx相对来讲“差

原创 吴军 数学通识50讲  2021-11-02 15:29 

吴军数学通识讲义 by 吴军 _部分187

178 | 吴军数学通识讲义

高阶无穷小,因此,当sinx已经比较接近于0时,Vx 相对来讲“差
的还远”,于是这个比值是0。我们用表5.3 中的数据,也很容忽验
证这一点。

如果反过来,要计算Vx /sinx,这个比值就是无穷大,因为分
母已经很接近0了,分子还是一个相对大的数字。

对于无穷大的除法,情况也是类似。比如,当x趋近于无穷大
时, lgx/Vx 的分子分母都趋近于无穷大,但是分母趋近的速度更快,
于是这个比值就是0。当然如果将分子和分母互换,它的比值加是
无穷大。如果我们计算 10 000x/z,你会发现,这两个无穷大的比
值等于0,这说明再多个 (10 000个 ) 低阶的无穷大(OOGCo) ),也比
不过一个高阶的无穷大 ( OCc ) )。

如果一个无穷大乘以一个无穷小,会是什么结果呢? 它可以是
一个常数,也可以是0,或者无穷大,就看它们谁的阶数更高了。

我们在前面讲芝诺悖论二时提到,对于那个比值x=0.1的等
比数列中,无穷多个无穷小相加,结果是有限的,就是这个过
理。因为不断变小的等比数列,最后会形成一个高阶无穷小。妆
然, 有了对无穷小严格的定义,我们可以非常严格地证明等比级数
S=1+0.1+0.01+0.001+…是收敛的。

我们只要构造这样一个序列:

= 0.1 7/(1-0.1),
12=0.1 /(1-0.1),

4 =0.1”/(1-0.1),

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