【吴军数学通识讲义几何篇】by吴军_吴军数学通识讲义高阶无穷小，因此，当sinx已经比较接近于时，Vx相对来讲“差

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高阶无穷小，因此，当sinx已经比较接近于0时，Vx 相对来讲“差
的还远”，于是这个比值是0。我们用表5.3 中的数据，也很容忽验
证这一点。

如果反过来，要计算Vx /sinx，这个比值就是无穷大，因为分
母已经很接近0了，分子还是一个相对大的数字。

对于无穷大的除法，情况也是类似。比如，当x趋近于无穷大
时, lgx/Vx 的分子分母都趋近于无穷大，但是分母趋近的速度更快，
于是这个比值就是0。当然如果将分子和分母互换，它的比值加是
无穷大。如果我们计算 10 000x/z，你会发现，这两个无穷大的比
值等于0，这说明再多个 (10 000个 ) 低阶的无穷大(OOGCo) )，也比
不过一个高阶的无穷大 ( OCc ) )。

如果一个无穷大乘以一个无穷小，会是什么结果呢? 它可以是
一个常数，也可以是0，或者无穷大，就看它们谁的阶数更高了。

我们在前面讲芝诺悖论二时提到，对于那个比值x=0.1的等
比数列中，无穷多个无穷小相加，结果是有限的，就是这个过
理。因为不断变小的等比数列，最后会形成一个高阶无穷小。妆
然， 有了对无穷小严格的定义，我们可以非常严格地证明等比级数
S=1+0.1+0.01+0.001+…是收敛的。

我们只要构造这样一个序列:

= 0.1 7/(1-0.1)，
12=0.1 /(1-0.1)，

4 =0.1”/(1-0.1)，

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