【吴军数学通识讲义几何篇读书笔记】by吴军_吴军数学通识讲义至于有限和无限对应不上。

原创 吴军数学通识50讲下载  2021-11-02 15:29 

吴军数学通识讲义 by 吴军 _部分163

154 | 吴军数学通识讲义

至于有限和无限对应不上。

在这个悖论中,,艺诺其实把阿喀琉斯追赶的时间分成了无陈
份,每一份逐渐变小,趋近于零但却又不等于零。比如我们假设网
喀琉斯一秒钟跑10米,那么芝诺所分的每一份时间就是1秒,0.1
秒,0.01秒,0.001秒,……。如果我们把它们加起来,就是之前
讲的等比级数,即:

S=1+0.1+0.01+0.001+…

接下来的问题是,这样无限份的时间加起来是多少? 假如每一

份时间都存在一个最小的、具体的长度,那么这样子的无限份加起

“来显然就是无限大,这也就是芝诺诡辩说阿喀琉斯追不上乌龟的原
因,当然,如果说时间分到最后等于零了,似乎也不符合事实, 其
实这正是矛盾所在。解决这个问题 ,就需要定义一个新的数学彼
念,就是无穷小量 (简称无穷小 )。

无穷小需要满足下面两个条件:

(1 ) 它不是零;

(2 ) 它的绝对值小于任何一个你能够给定的数。

从这个定义可以看出,无穷小和无穷大一样,并非是一个具体
的数,而是一种趋势,一种不断地趋近于零的趋势。在阿喀琉斯妃
赶乌龟的例子中,虽然时间被分为了无穷多份,但是到后来,每一
份不仅越来越小,而且都是一些无穷小量。那么无穷多个无穷小量
加起来是多少呢? 有三种情况,分别是: 有限的数、无穷大或者无
穷小。具体是哪种情况,要看是相应的无穷大往“远方”发展的速
度快,还是无穷小往零的方向趋近的速度快,用数学的话讲,就是
谁的阶高,具体的内容我们会在后面讲。

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